Cho tam giác ABC, O là điểm bất kì nằm tring tamm giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB tại P, Q, R. Chứng minh: \(\sqrt{\dfrac{OA}{OP}}+\sqrt{\dfrac{OB}{OQ}}+\sqrt{\dfrac{OC}{OR}}\ge3\sqrt{2}\)
Những câu hỏi liên quan
cho tam giác ABC và O là một điểm bất kỳ trong tam giác. các tia AO,BO,CO cắt các cạnh BC,CA,AB thứ tự tại các điểm P,Q,R. chứng minh OA/OP*OB/OQ*OC/OR>=8
Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kì trong tam giác. Các tia AO, Bo, Co cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R.
Chứng minh \(\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}\ge8\)
cho tam giác ABC và O là một điểm bất kì trong tam giác. Các Tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R. Chứng minh \(\frac{OA}{OP}\times\frac{OB}{OQ}\times\frac{OC}{OR}\ge8\)
Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kỳ trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R. Chứng minh \(\dfrac{OA}{OP}.\dfrac{OB}{OQ}.\dfrac{OC}{OR}\ge8\)
cho tam giác ABC và O là mọt điểm bất kì trong tam giác.Các tia AO,BO,CO cắt các cạnh BC,CA,AB thứ tự tại các điểm P,Q,R.Chứng minh \(\dfrac{OA}{OP}.\dfrac{OB}{OQ}.\dfrac{OC}{OR}\ge8\)
Lời giải:
Đặt \(S_{BOC}=S_1;S_{AOC}=S_2;S_{AOB}=S_3;S_{ABC}=S\)
Ta có \(\dfrac{OA}{OP}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{POB}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{POC}}=\dfrac{S_{AOB}+S_{AOC}}{S_{COB}}=\dfrac{S_2+S_3}{S_1}\)
Tương tự:\(\dfrac{OB}{OQ}=\dfrac{S_3+S_1}{S_2};\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{S_1+S_2}{S_3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{OA}{OP}.\dfrac{OB}{OQ}.\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{\left(S_1+S_2\right)\left(S_2+S_3\right)\left(S_3+S_1\right)}{S_1.S_2.S_3}\ge\)
\(\ge\dfrac{2\sqrt{S_1.S_2}.2\sqrt{S_2.S_3}.2\sqrt{S_3.S_1}}{S_1.S_2.S_3}=8\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow S_1=S_2=S_3\Leftrightarrow\) O là giao điểm ba đường trung tuyến tam giác ABC
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC và O là điểm bất kì nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh rằng:
a) dfrac{OP}{AP}+dfrac{OQ}{BQ}+dfrac{OR}{CR}1
b) dfrac{AP}{OP}+dfrac{BQ}{OQ}+dfrac{CR}{OR}ge9
c) Trong 3 tỉ số: dfrac{OA}{OP},dfrac{OB}{OQ},dfrac{OC}{OR} có một tỉ số không nhỏ hơn 2, có một tỉ số không lớn hơn 2
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC và O là điểm bất kì nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh rằng:
a) \(\dfrac{OP}{AP}+\dfrac{OQ}{BQ}+\dfrac{OR}{CR}=1\)
b) \(\dfrac{AP}{OP}+\dfrac{BQ}{OQ}+\dfrac{CR}{OR}\ge9\)
c) Trong 3 tỉ số: \(\dfrac{OA}{OP},\dfrac{OB}{OQ},\dfrac{OC}{OR}\) có một tỉ số không nhỏ hơn 2, có một tỉ số không lớn hơn 2
cho tam giác ABC. gọi O là điểm bất kì trong tam giác, vẽ AO,BO,CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại P,Q,R. chứng minh rằng \(\sqrt{\frac{OA}{OP}}\)+\(\sqrt{\frac{OB}{OQ}}\)+\(\sqrt{\frac{OC}{\text{OR}}}\)\(\ge\)3\(\sqrt{2}\)
vì các đoạn thẳng trong bài hiển nhiên phải dương nên
áp dụng BĐT cauchy cho 3 số thực dương:
\(\sqrt{\frac{OA}{OP}}+\sqrt{\frac{OB}{OQ}}+\sqrt{\frac{OC}{OR}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}}}\)(1)
xét tích \(\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}=\left(\frac{AP}{OP}-1\right)\left(\frac{BQ}{OQ}-1\right)\left(\frac{CR}{OR}-1\right)\)(2)
áp dụng hệ quả định lý tales:OK//AH(cùng vuông góc với BC)
\(\rightarrow\frac{AP}{OP}=\frac{AH}{OK}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}\)(2 tam giác chung cạnh đáy)
làm tương tự :\(\frac{BQ}{OQ}=\frac{S_{ABC}}{S_{AOC}}\);\(\frac{CR}{OR}=\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}}\)
thế vào (2): \(\left(\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}-1\right)\left(\frac{S_{ABC}}{S_{AOC}}-1\right)\left(\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}}-1\right)=\frac{\left(S_{AOB}+S_{AOC}\right)\left(S_{AOB}+S_{BOC}\right)\left(S_{AOC}+S_{BOC}\right)}{S_{AOB}.S_{BOC}.S_{AOC}}\)
để biểu thực gọn hơn ta đặt \(\left\{\begin{matrix}S_{AOB}=x\\S_{AOC}=y\\S_{BOC}=z\end{matrix}\right.\),biểu thức trở thành
\(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\)
áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:\(\left\{\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge8\)(3)
từ (1),(2) và (3):\(\sqrt{\frac{OA}{OP}}+\sqrt{\frac{OB}{OQ}}+\sqrt{\frac{OC}{OR}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{8}}=3\sqrt[3]{\left(\sqrt{2}\right)^3}=3\sqrt{2}\)
dấu = xảy ra khi:\(\left\{\begin{matrix}\frac{OA}{OP}=\frac{OB}{OQ}=\frac{OC}{OR}\\S_{AOB}=S_{BOC}=S_{COA}\end{matrix}\right.\)chứng tỏ O là trọng tâm của tam giác ABC
Đúng 0
Bình luận (1)
Cho t hỏi ngu tý nha , đặt ẩn là x ; y ; z sao ra nó lại thánh a ; b ; c
:(( Đứng gạch
Đúng 0
Bình luận (3)
Cho tam giác ABC , O nằm trong tam giác đó. Các tia AO,BO,CO cắt BC,CA,AB tại M,N,P. Chứng minh rằng:sqrt{frac{OA}{OM}}+sqrt{frac{OB}{ON}}+sqrt{frac{OC}{OP}}ge3sqrt{2}sqrt{frac{AM}{OA}}+sqrt{frac{BN}{OB}}+sqrt{frac{CP}{OC}}gefrac{3sqrt{6}}{2}sqrt{frac{OM}{AM}}+sqrt{frac{ON}{BN}}+sqrt{frac{OP}{CP}}gesqrt{3}Đã chứng minh:frac{AM}{OM}+frac{BN}{ON}+frac{CP}{OP}ge9frac{OA}{AM}+frac{OB}{ON}+frac{OC}{OP}ge6frac{AM}{OA}+frac{BN}{OB}+frac{CP}{OC}gefrac{9}{2}frac{OM}{OA}+frac{ON}{OB}+frac{OP}{OC}gefrac{...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC , O nằm trong tam giác đó. Các tia AO,BO,CO cắt BC,CA,AB tại M,N,P. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\frac{OA}{OM}}+\sqrt{\frac{OB}{ON}}+\sqrt{\frac{OC}{OP}}\ge3\sqrt{2}\)
\(\sqrt{\frac{AM}{OA}}+\sqrt{\frac{BN}{OB}}+\sqrt{\frac{CP}{OC}}\ge\frac{3\sqrt{6}}{2}\)
\(\sqrt{\frac{OM}{AM}}+\sqrt{\frac{ON}{BN}}+\sqrt{\frac{OP}{CP}}\ge\sqrt{3}\)
Đã chứng minh:
\(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\ge9\)
\(\frac{OA}{AM}+\frac{OB}{ON}+\frac{OC}{OP}\ge6\)
\(\frac{AM}{OA}+\frac{BN}{OB}+\frac{CP}{OC}\ge\frac{9}{2}\)
\(\frac{OM}{OA}+\frac{ON}{OB}+\frac{OP}{OC}\ge\frac{3}{2}\)
( bài toán cực trị trong hình học).
a. Đặt \(S_{AOB}=c^2;S_{BOC}=a^2;S_{COA}=b^2\Rightarrow S_{ABC}=a^2+b^2+c^2\)
Ta có \(\frac{AM}{OM}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2}=1+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)
Vậy thì \(\frac{OA}{OM}=\frac{AM}{OM}-1=\frac{b^2+c^2}{a^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{OA}{OM}}=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
Tương tự, ta có: \(\sqrt{\frac{OA}{OM}}+\sqrt{\frac{OB}{ON}}+\sqrt{\frac{OC}{OP}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{2}}.6=3\sqrt{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)